کاربردی از قضیه فروبنیوس در مطالعه جبرهای ساده مرکزی و رده بندی بعضی از ‎ -p‎گروه های متناهی ‎بوسیله مجموع مرتبه عناصر

در این رساله با استفاده از مفهوم زیرمیدان های خودنرمال ساز، برهانی جدیدی برای قضیه کوچک ودربرن ارائه می گردد. در ادامه نشان داده می شود که اگر ‎$r$‎ یک حلقه ناجابجایی و ‎$i$‎ یک ایده ال لی غیرمرکزی بدون مقسوم علیه صفر از آن باشد، آن گاه اندازه مجموعه همدسته های ضربی ‎${ai| ain r}$‎ نامتناهی است. ‎ ‎ ‏حال فرض کنید ‎$g$‎ یک گروه متناهی باشد. تابع مجموع مرتبه عناصر ‎$g$‎ را با ‎$psi(g)$‎ نمایش می دهیم. در این رساله برخی رده ها از ‎$-p$‎گروه های متناهی را مطالعه و اعضای این رده را با ‎$psi(g)$‎ و ‎$|g|$‎ رده بندی می کنیم. پس از آن تمامی گروه های متناهی غیر دوری را که دارای بیشترین مقدار مجموع مرتبه عناصر هستند رده بندی و حدس ارائه شده در مرجع ‎cite{sm}‎ در مورد بیشترین مقدار مجموع مرتبه عناصر در گروه های غیر دوری را اثبات می کنیم. در ‎cite{1}‎ نویسندگان نشان داده اند که اگر ‎$g$‎ یک گروه غیر دوری از مرتبه ‎$n$‎ باشد، آنگاه ‎$psi(g)< psi(c_n)$‎. این نتیجه را بهبود و تعمیم داده و به عنوان کاربردی از این نتیجه نشان خواهیم داد که اگر ‎$g$‎ یک گروه غیر دوری از مرتبه ‎$n$‎ باشد، آنگاه ‎$psi_2(g)< psi_2(c_n)$‎ که در آن ‎$psi_2(g)$‎ مجموع حاصلضرب تمام ترکیب های دوتایی از مرتبه عناصر در ‎$g$‎ است.